树和堆（julyedu网课整理）

树和堆（julyedu网课整理）

1 定义

1.1 树的定义

它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

1. 每个节点有零个或多个子节点
2. 没有父节点的节点称为根节点
3. 每一个非根节点有且只有一个父节点
4. 除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树

1.2 堆的定义

堆的实现通过构造二叉堆（binary heap），实为二叉树的一种；由于其应用的普遍性，当不加限定时，均指该数据结构的这种实现。这种数据结构具有以下性质：

1. 任意节点小于（或大于）它的所有后裔，最小元（或最大元）在堆的根上（堆序性）。
2. 堆总是一棵完全树。即除了最底层，其他层的节点都被元素填满，且最底层尽可能地从左到右填入。
3. 将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

2 基本操作

2.1 树的基本操作

1. 遍历：前中后序遍历；层次遍历
2. 序列化与反序列化
3. 深度：最大深度，最小深度。

2.2 堆的基本操作

1. 插入元素，调整新元素使之满足堆条件。
2. 删除元素，调整新元素使之满足堆条件。

3 树和堆的应用场景

1. C++ STL的set与map（红黑树）
2. 数据库索引（B+树）
3. 优先队列（堆）
4. 语法树
5. 决策树
6. 游戏场景管理（八叉树或BSP树）

4 树和堆相关算法

1. 递归
2. 分治
3. 深度优先搜索
4. 广度优先搜索

5 例题

求公共最近的父节点：给定一棵二叉树，找到两个节点的最近公共父节点(LCA)。最近公共祖先是两个节点的公共的祖先节点且具有最大深度。

对于上面例子：LCA(3, 5) = 4; LCA(6, 7) = 7

5.1 思路

1. 如果以LCA为根节点，那么A、B必定分别位于该节点的左右子树。
2. 如果不满足条件1，A、B都位于LCA的左子树，那么显然LCA左子树上的节点应该成为LCA。

==> ∴ 从根节点开始，对于根节点的左右子树结点都进行如下循环：找左子树，如果存在A或B返回left（值等于结点值）；找右子树，如果存在A或B返回right（值等于结点值）。如果对于某一个结点，left和right都是有值的，那么就返回这个结点。

5.2 Demo

TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode A, TreeNode B) {
    // write your code here
    if(root ==  null || root == A || root == B){
		return root;
	}
	TreeNode left = lowestCommonAncestor(root.left, A, B);
	TreeNode right = lowestCommonAncestor(root.right, A, B);
	if(left && right){
		return root;		
	}else{
		left ? return left : return right;
	}
}